Bodo Pareigis's Analytische und projektive Geometrie für die PDF

By Bodo Pareigis

Die computing device Graphik ist eine der schönsten und attraktivsten Anwendungen von Computern. Kleine Zeichenprogramme für den Hausgebrauch, Graphiken für den Buchdruck, Architektur-Zeichnungen, graphische Darstellungen von Wirt­ schaftsentwicklungen, Konstruktionszeichnungen für den Maschinenbau und ani­ mierte Graphiken bis hin zum abendfüllenden Spielfilm sind eine Auswahl der graphischen Möglichkeiten, die durch den machine erschlossen werden. Die machine Graphik stellt höchste Anforderungen an die Leistungsfähigkeit von Computern. Gerade auf ihrem Gebiet reihen sich technische Neuerungen und Entwicklungen in dichter Folge aneinander. Neben den technischen Entwicklungen werden auch neue mathematische Me­ thoden und Algorithmen verwendet, um die Graphik noch leistungsfähiger zu machen. Eine der elegantesten für die Graphik verwendeten mathematischen Methoden wird durch den Begriff der "homogenen Koordinaten" beschrieben. Sie sind die Koordinaten, die in der projektiven Geometrie verwendet werden. Und tatsächlich stammen viele der verwendeten Methoden der desktop Gra­ phik aus der projektiven Geometrie. Darstellungen dieses schönen mathematischen Gebiets in einer Weise, wie sie für die Anwendungen in der laptop Graphik wünschenswert wären, sind schwer zu finden. Ich habe daher versucht, diejenigen Methoden der projektiven Geo­ metrie, die für Anwendungen in der laptop Graphik besonders interessant sind, in diesem Buch zusammenzustellen. Die ersten drei Kapitel sind der allgemeinen Sprache der linearen Algebra ge­ widmet, dem Rechnen mit Koordinaten, Vektoren und Matrizen. Der Leser, der mit diesen Begriffen schon vertraut ist, kann diese Kapitel zunächst übergehen und sie später als Referenz für besondere Begriffe oder Algorithmen verwenden.

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B E W E I S : folgt aus der vorhergehenden Diskussion. 23 Satz. Sei x • M — b ein lineares Gleichungssystem mit einer m x n-Matrix. Dann gelten: a) Das Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn r g ( ^ ) = r g ( M ) . b) Das Gleichungssystem ist genau dann für alle b £ K n lösbar, wenn r g ( M ) = n. c) Ist das Gleichungssystem lösbar, so ist die Lösung genau dann eindeutig, wenn r g ( M ) = rn. BEWEIS: a) Die Matrix (^) entsteht aus der Matrix M dadurch, daß der Vek- tor b als Zeilenvektor zur Matrix M an unterster Stelle hinzugefügt wird.

Ist weiter Ylr=k+1 ßrf{b ) r = 0, so gilt Z r=k ißrbr n + £ K e r n ( / ) und Ztk+ißrK = = Y^r=i r ^ r - Wegen der linearen Unabhängigkeit der b j , . . , b ergibt sich wieder a n /? = 0, also sind die /(bjt-f i ) , . . , f(b ) linear unabhängig. U m zu zeigen, daß sie eine Basis für B i l d ( / ) bilden, sei f(v) mit v = Ylr=i @ n r rbr e * n behebiger Vektor in B i l d ( / ) . Dann gilt n n n = fC^ßrbr) = Y,ßrf{b ) = ^ ßrf(b ), r=l r=l r=jfe + l weil die Vektoren / ( b i ) = . . = f(bk) = 0 sind.

Diese Matrix, die man als E n E n Alle anderen Koeffizienten + XE{j schreiben kann, hat als Inverse — XE{j und ist damit invertierbar. Sie heißt Elementarmatrix zweiter Art. Schließlich ist «ln\ Ölt \«nl «m . Vo «Ii «11 1/ «In ^ «nl Die zur Multiplikation von rechts verwendete Matrix hat Einsen in der Diagonalen und Nullen an allen anderen Stellen mit Ausnahme von ßa = ßjj = 0 und ßij = ßji = 1 für ein Paar i ^ j. Diese Matrix ist zu sich selbst invers und heißt Elementarmatrix dritter Art. 50 2 Affine Räume W i r haben also gesehen, daß man elementare Spaltenumformungen durch M u l tiplikation von rechts mit gewissen (invertierbaren) Elementarmatrizen erzeugen kann.

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